Математические методы и модели в принятии решений. Математические методы в принятии решений Математические методы и модели в принятии решений

Критерии принятия решений и их шкалы

Из схемы процесса обоснования решений, приведенной на рис. 1.5, видно, что этот процесс завершается фазой оценки альтернатив. Именно в рамках этой фазы напрямую работает принцип измерения . При этом практически неразрывно, одновременно решаются два взаимосвязанных вопроса: выработка (формирование) критерия и получение оценок критерия для каждой из сформированного ЛПР множества допустимых альтернатив.

Критерий (функция цели, показатель) - это специальная функция, заданная в номинальной , числовой или количественной шкале, областью определения которой служит множество альтернатив .

Критерий предназначен для измерения степени эффективности (вклада, полезности или ценности) каждой альтернативы в отношении достижения цели операции. Те значения, которые эта функция принимает, называют оценками критерия .

Измерение - это процесс приписывания объектам таких символов, сравнение значений которых позволяет делать выводы о связи объектов между собой. Для ТПР это означает следующее: если ЛПР удалось подобрать такой критерий для оценки альтернатив, что у одной из них оценка критерия выше, чем у других, то можно предположить, что, выбрав альтернативу с наибольшим (максимальным) значением оценки критерия, ЛПР тем самым выберет наилучшую альтернативу.

где - альтернативы; - значения оценок критерия для альтернатив; - уровни полезности для ЛПР полученных значений оценок соответственно; - символ, означающий нестрогое превосходство для альтернатив и нестрогое неравенство для оценок (чисел); Û - знак двойной импликации ("тогда и только тогда", "необходимо и достаточно").

Соотношение (1.1) следует понимать так: если какая-то альтернатива не хуже какой-то другой (в нашем случае альтернатива не менее предпочтительнее, чем альтернатива ) то значение полезности для более предпочтительной альтернативы должно быть не ниже, чем для менее предпочтительной (в нашем случае функция полезности должна иметь значение не меньше чем . При этом мы обязательно будем полагать (и это особенно важно), что и обратное тоже верно (знак двойной импликации "тогда и только тогда" в выражении на это указывает).

Именно возможность "обратного прочтения" выражения (1.1) позволяет сделать важный вывод: если найдены альтернативы, обладающие максимальной полезностью, то они, скорее всего (с точностью до построенной модели u (Х) предпочтений) будут наилучшими решениями.

Таким образом, из соотношения (1.1) немедленно следует и формальное правило выбора наилучшей альтернативы:

, (1.2)

где - наилучшая альтернатива; - множество альтернатив.

Теория измерения разработала широкий арсенал разнообразных по своим свойствам шкал для измерения значений критериев. Эти шкалы позволяют в наибольшей степени обеспечить требование высокой информативности при решении задачи выбора наилучшей альтернативы и одновременно добиться достаточной простоты и экономии средств при измерениях.

Так, если целью измерения является разделение объектов (в нашем случае это альтернативы) на классы по признакам типа "да - нет", "свой - чужой", при годный - непригодный" и т. п., то используют так называемые номинальные или (классификационные ) шкалы. При этом любые формы представления оценки в номинальной шкале, которые не позволят отождествить объекты из разных классов между собой, будут одинаково подходящими. Так, часто при моделировании предпочтений в качестве градаций номинальных шкал используют шкалу целых чисел и даже бинарную шкалу со значениями (1; 0). Например, ЛПР может допустить считать все, что "да", - это единица, а все, что "нет", - это нуль.

Над значениями оценок в номинальных шкалах можно производить любые взаимно-однозначные преобразования и при этом смысл высказываний, задаваемых выражением (1.1), сохраняется.

Если целью измерения является упорядочение объектов одного класса в соответствии с интенсивностью проявления у них какого-то одного общего свойства, то наиболее выразительной и экономной будет ранговая , или порядковая шкала. Например, если общим для стратегий осуществления экспансии на рынке будет признак "объем продаж", то имеющиеся у ЛПР альтернативы осуществления экспансии можно, например, регламентировать в порядковой шкале со значениями "высокий", "средний", "низкий". Здесь также можно присвоить градациям шкалы числовые значения - ранги. Шкала в таком случае называется ранговой . Например, если первому в упорядоченном ряду объекту присвоить ранг, равный 1, второму - равный 2, и т. д., то получим так называемую прямую ранговую шкалу . Возможно ранжирование и в обратных ранговых шкалах , где более предпочтительному объекту присваивается больший, а не меньший ранг. Оценки в ранговых шкалах допускают любые монотонно возрастающие или монотонно убывающие преобразования.

Номинальные и ранговые шкалы относят к классу так называемых качественных шкал , то есть шкал, позволяющих выносить не более чем вербальные (на неформальном, качественном уровне) оценки и суждения.

Однако в практике чрезвычайно часто встречаются случаи, когда простого, качественного суждения об упорядочении альтернатив недостаточно. Например, ЛПР для принятия решений нужно не просто узнать, что одна из альтернатив осуществления экспансии на рынке обеспечивает объем продаж выше, чем другая. Ему еще нужно получить представление о том, насколько или во сколько раз достигаемый для альтернатив уровень продаж выше (или ниже). В подобных ситуациях для измерения значений критериев применяют наиболее совершенный класс шкал - количественные шкалы .

Подклассами количественных шкал выступают интервальная шкала , шкала отношений и абсолютная шкала - самая совершенная из всех шкал. Абсолютная шкала допускает только тождественные преобразования над ее значениями. Промежуточное положение (в смысле совершенства) между качественными и количественными шкалами занимает числовая , балльная шкала. В этой шкале оценки критериев выражаются в виде чисел, баллов, начисляемых по уcтановленным ЛПР правилам.

Что касается свойств балльных шкал, то чем меньше у них градаций (например, 3-5 числовых градаций) и чем проще правила начисления баллов, тем ближе такие шкалы к качественным, ранговым. И наоборот, чем число градаций больше и чем сложнее правила начисления баллов, тем балльная шкала ближе по своим свойствам и возможностям к количественной, интервальной.

Итак, чтобы воспользоваться формальной моделью (1.2) для выбора наилучшей альтернативы, следует решить задачу измерения .

В самом начале ЛПР проводит углубленный анализ цели, проникается пониманием полезности достигаемых результатов для решения проблемы. Именно здесь, на этом шаге ЛПР работает по технологии "номинаций" в простейшей, качественной шкале. Используя вербальное описание цели операции, ЛПР тщательно моделирует цель, формально воспроизводя ее в общем случае в виде вектора требуемого результата. Затем, действуя по принципу "вот эти частные критерии отнести к оценкам затрат, а те - к оценкам эффекта, формирует в общем случае векторный критерий W. Далее проводится содержательный анализ состава и генезиса (происхождения) факторов, задающих тип механизма ситуации.

Исходя из представления о цели и механизме ситуации, ЛПР формирует концептуальное множество альтернатив , принципиально приводящих к достижению цели операции. После этого концептуальное множество альтернатив ЛПР содержательно анализируется с целью выделения из него физически реализуемых альтернатив . Это значит, что каждую из альтернатив концептуального множества ЛПР проверяет на ее приемлемость как в отношении достижения цели операции, так и в отношении удовлетворения ограничений по времени на подготовку и реализацию этой альтернативы в ходе операции и требуемых ресурсов, необходимых для физической реализации альтернативы.

Когда концептуальные оценки затрат и эффекта (то есть оценки в номинальной шкале) получены, можно уже формально отсеять менее предпочтительные из концептуальных альтернатив. Менее предпочтительными при этом следует считать те из физически реализуемых концептуальных альтернатив, которые одновременно уступают хотя бы одной из других одновременно по оценкам эффекта и затрат.

В процессе подобного "номинирования" получают физически реализуемое допустимое множество альтернатив , состоящее из "нехудших" компонентов.

Далее для каждой альтернативы из множества физически реализуемых альтернатив следует произвести измерение значений всех частных компонентов векторного критерия в более совершенной шкале - ранговой или балльной, получить оценки и сделать выводы о "тенденциях", проявляющихся в изменении значений оценок критериев при изменениях значений управляемых факторов, имеющихся в описании альтернатив.

Изученные на основе измерения тенденции будут служить главными ориентирами при проверке адекватности более тонких моделей, позволят на количественном уровне произвести сравнения оценок альтернатив.

На третьем шаге процесса измерения строят модели для измерения оценок критериев в более совершенных, количественных шкалах типа интервальных или шкал отношений. Таким образом, более точно устанавливают не только тенденции, но и пропорции в значениях оценок. На этом же шаге измерения формируют функцию полезности для ЛПР оценок критериев, также, как правило, в шкале интервалов.

Схема процесса принятия решений

Главное предназначение ЛПР и конечный продукт его управленческой деятельности - это выработка решений. Разумеется, немаловажны и другие его управленческие функции, такие, как организация взаимодействия, всестороннего обеспечения проведения операции, контроль, оказание помощи, оценка фактической эффективности операции, фиксация, обобщение и распространение накопленного в ходе операции опыта.

Схема структуры принятия управленческих решений представлена на Рис. 1.7.

Рис. 1.7. Схема процесса принятия решения.

Основу принятия всех решений на всех этапах процесса выработки решений, конечно же, составляют предпочтения ЛПР.

Несомненно, целесообразным началом процесса принятия решений должна стать формализация предпочтений .

После того как предпочтения ЛПР формализованы и получена необходимая информация о предпочтениях, переходят к следующему важному шагу принятия решений - к построению функции выбора.

Функция выбора в теории принятия решений имеет фундаментальное значение. Именно на ее построение в конечном итоге ориентированы решение задач формирования исходного множества альтернатив, анализ условий проведения операции, выявление и измерение предпочтений ЛПР.

Согласно формальному определению, принятому в ТПР, функция выбора - это отображение вида

, (1.3)

где - некоторое множество(исходное для рассматриваемого шага принятия решений), изкоторого производят выбор; - подмножество, обладающее определенными (известными или заданными) свойствами, причем .

При поэтапном получении от ЛПР информации о его предпочтениях в ходе проведения измерений вначале строится функция выбора по результатам измерения и оценки в наиболее надежной, но и менее точной номинальной шкале на основе качественных суждений о предпочтениях. В результате из исходного множества А альтернатив получают первое представление искомого подмножества альтернатив , в котором содержится наилучшая альтернатива .

Если ЛПР, проведя неформальный анализ подмножества , еще не смогло определиться в выборе , то следует продолжить построение функции выбора. Для этого ЛПР должно уточнить измеренные предпочтения, применив для их измерения более совершенную, например порядковую или балльную , шкалу.

В результате уточнения вида функции выбора будет получено в общем случае иное подмножество альтернатив, причем . Теперь ЛПР должно сосредоточиться на анализе этого последнего множества , так как опять-таки наилучшая альтернатива содержится именно в нем. Затем при необходимости можно вновь уточнить предпочтения ЛПР, измерив их в какой-либо из пропорциональных шкал, и так далее до тех пор, пока ЛПР уверенно не остановится в выборе наилучшей альтернативы .

Следует иметь в виду, что конкретный вид функции выбора, реализующий отображение (1.3), зависит от того, каков механизм ситуации.

Это обстоятельство отмечено на схеме Рис. 1.7. вариантами построения функции выбора с детализацией их по типу условий неопределенности: в условиях стохастической неопределенности , в условиях поведенческой неопределенности и в условиях природной неопределенности .

Целевое различие в использовании скалярного и векторного критериев определило необходимость отображения на Рис. 1.7 в общем случае двух вариантов формы исходных данных и процедур для построения функции выбора - по скалярному или векторному критерию.

Получение информации

Процесс принятия решения требует по возможности полного объема информации как о самой управляющей системе, так и о среде ее функционирования (окружающей среде). Без информации такого рода невозможны анализ условий принятия решений, выявление механизма ситуации и формирование исходного множества альтернатив . ЛПР должен быть проведен содержательный анализ информации об условиях осуществления операции, получены надежные представления о механизме ситуации. Только обретя эту информацию, ЛПР сможет с позиций системного подхода не только вербально описать основные (ведущие) факторы, способствующие и мешающие формированию успешного исхода операции, но и формально оценить степень их влияния на результативность исхода.

Для этого необходимо точно понять, какая информация, какого качества и к какому сроку нужна. Результат этого промежуточного решения (содержание, требуемые точность и надежность информации, оперативность ее получения) поможет ЛПР осознанно выбрать один из доступных источников информации и принять решение. Схема классификации возможных источников и способов получения информации приведена на Рис. 1.8.

Рис. 1.8. Концептуальная схема классификации возможных источников и способов получения информации.

Из анализа схемы на Рис. 1.8. следует, что принципиально существует лишь три источника информации:

· эмпирические данные;

· знания, личный опыт и интуиция ЛПР;

· совет специалиста (экспертиза).

Ясно, что практически чаще всего люди черпают информацию из собственного опыта и знаний, а собственная интуиция помогает им заполнить пробелы в позитивном знании.

Кроме этого имеются еще две принципиальные возможности: поискать необходимые сведения в одном из "объективных источников", где зафиксирован исторический опыт человечества (эмпирические данные), или обратиться к "субъективному источнику" - к знаниям, умениям и навыкам признанных специалистов своего дела (экспертам).

В ТПР считают, что эксперт - это человек, который лично работает в рассматриваемой области деятельности, является признанным специалистом по решаемой проблеме, может и имеет возможность высказать суждение по ней в доступной для ЛПР форме.

Эксперты выполняют информационную и аналитическую работу на основе своих личных представлений о решаемой задаче. В общем случае представления экспертов могут не совпадать с мнением ЛПР. Такое расхождение во мнениях играет как отрицательную, так и положительную роль. С одной стороны, при несовпадении мнений затягивается процесс выработки решения, но, с другой - ЛПР может критически осмыслить альтернативную точку зрения или скорректировать собственные предпочтения.

Чтобы повысить личную уверенность в том, что специалист дал ему правильный совет, ЛПР может обратиться не к одному, а к нескольким экспертам. Соответственно, различают индивидуальную (один эксперт) и групповую экспертизу. Если вопрос строго конфиденциальный, время лимитировано или нет возможности спросить у нескольких специалистов ответа на интересующий вопрос, то индивидуальная экспертиза - наилучший способ получения информации. Но если перечисленные ограничения не являются существенными, то, несомненно, групповая экспертиза - в целом более достоверный и точный способ получения информации.

В то же время в ходе групповой экспертизы возможно несовпадение субъективных суждений отдельных специалистов. В связи с этим требуется предпринимать специальные приемы обработки экспертной информации с целью повышения надежности результатов.

ТПР разработан специальный комплекс организационных, технических и математических процедур, придающих стройность и логическую обусловленность всему процессу получения, обработки и анализа групповой экспертной информации. Этот комплекс процедур, включающий экспертизу (то есть сам опрос экспертов) лишь как один из этапов получения информации, в ТПР получил название метода экспертного оценивания .

Исторически накапливая знания, научившись письменности, люди стали фиксировать свой объективный опыт. Всю полезную информацию стали заносить в той или иной форме на специальные носители. Вначале эти носители были несовершенны (например, рукописи, книги) и малодоступны, однако постепенно они приобрели более совершенную форму, а с развитием печатного дела превратились в библиотеки, в банки данных (БнД), базы данных (БзД) и базы знаний (БзЗ). Процесс поиска общедоступной информации стал более удобным, эффективным и даже творческим. Но в это же время какая-то информация и какие-то источники информации становились недоступными широкой общественности. Поэтому в том случае, когда ЛПР в силу разных причин не может найти необходимую ему информацию в общедоступных источниках, ее приходится активно добывать. Чтобы добыть недоступную информацию, ЛПР может организовать и провести натурный или модельный эксперимент , может прибегнуть к помощи разведки или применить какие-то спецсредства.

Разведка или спецсредства требуют значительных затрат; то же относится и к эксперименту, особенно, если эксперимент масштабный и проводится в условиях действия неоднозначного механизма ситуации. Поэтому, чтобы сэкономить средства, целесообразно провести строго научное планирование эксперимента , количественно установить его параметры, оптимальные в отношении эффективности будущих решений и действий ЛПР.

Значительные теоретические успехи достигнуты в деле планирования экспериментов на математических моделях с применением компьютеров. Аппарат математической теории планирования в основном ориентирован на исследование случайных механизмов ситуации. В то же время он нередко бывает полезным и в других ситуациях.

Рассмотрим постановку задачи планирования эксперимента.

Если целью исследования является максимизация полезного эффекта эксперимента при ограничениях на затраты, а сам полезный эффект соотносится в сознании ЛПР с обеспечением экстремума (например, максимума) выходного результата, то задача установления оптимальных параметров эксперимента сведется к стремлению максимизировать выходной результат при ограничениях на затраты. Например, если нужно увеличить выход некоторого полезного вещества в процессе химического производства, а объем выхода зависит от таких важных параметров, как температура, давление и т.п., то постановка задачи планирования эксперимента по выпуску химического продукта может выглядеть следующим образом: найти оптимальное сочетание перечисленных управляемых переменных процесса химического производства, которые обеспечивают максимальный выход готового продукта требуемого качества, при условии, что затраты на проведение эксперимента не выше отпущенных на него финансов.

Примерно по такой же схеме формулируется постановка задачи на получение информации и в том случае, когда эффект отождествляется с точностью предсказания выходного результата, то есть с величиной ошибки воспроизведения механизма ситуации, а также постановка задачи, в которой целью ЛПР является стремление к минимизации затрат на моделирование при обеспечении уровней притязаний ЛПР на ожидаемый эффект.

Реферат

Математические методы в принятии решений

Математика как наука с самого зарождения является инструментом в процессе поиска истины, и потому можно считать, что любые математические операции, даже самые простые, являются математическими методами принятия решений. В настоящее время под принятием решений понимается особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта (альтернативы) действий. Процессы принятия решения лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Например, при создании новой техники (машин, приборов, устройств), в строительстве при проектировании новых зданий, при организации функционирования и развития социальных процессов. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надежность. Помимо эмпирического восприятия ситуации и интуиции в наше время сложных экономических ситуаций и процессов управления предприятием руководителям требуется некоторая основа и «доказанная гарантия» принимаемого решения. Неизбежно требуется формализация процесса принятия решений. Как правило, важные решения принимаются опытными людьми, довольно далекими от математики, и особенно от ее новых методов, и опасающимися больше потерять от формализации, чем выиграть.

Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному принятию решений. Прошло то время, когда правильные решения принимались «на ощупь», методом «проб и ошибок». Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход - слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют обеспечить предприятию максимально выгодные условия выпуска продукции (максимальная прибыль при минимальных трудовых затратах, материальных и трудовых ресурсах).

В настоящее время поиск оптимальных решений можно рассматривать при помощи разделов классической математики. Так, например, в математической статистике в разделе «принятие решений» изучают способы принятия или не принятия некоторой основной гипотезы при наличии конкурирующей гипотезы с учетом функции потерь. Теория принятия решений развивает методы математической статистики - методы проверки гипотез. Различные величины потерь при выборе разных гипотез приводят к результатам, отличным от тех, которые получены методами статистической проверки гипотез. Выбор менее вероятной гипотезы может оказаться более предпочтительным, если потери в случае ошибочности такого выбора окажутся меньше потерь, вызванных ошибочностью выбора более вероятной конкурирующей гипотезы. Такие задачи называют статистическими задачами принятия решений. Для решения этих задач необходимо найти минимальное значение функции риска на множестве возможных исходов, т.е. решить задачу отыскания условного экстремума. Как правило, для этих задач можно выделить цель и указать условия, т.е. ограничения, при которых они должны быть решены. Подобными задачами занимаются в разделе математики «математическое программирование», который, в свою очередь, является частью раздела «исследование операций».

В роли входных данных выступает реальная задача - произвольным образом сформулированный набор данных о проблемной ситуации. Первым этапом решения задачи является ее формулировка - приведение данных к удобному для построения модели виду. Модель - приближенное (описательное) отображение действительности. Далее по построенной модели осуществляется поиск оптимальных решений и выдача рекомендаций.

Модели можно разбить на 2 большие группы:

Детерминированные модели:

Линейное программирование;

Целочисленное программирование и комбинаторика;

Теория графов;

Потоки в сетях;

Геометрическое программирование;

Нелинейное программирование;

Математическое программирование;

Оптимальное управление.

Стохастические модели:

Теория массового обслуживания;

Теория полезности;

Теория принятия решений;

Теория игр и игровое моделирование;

Теория поиска;

Имитационное моделирование;

Динамическое моделирование.

В принятии решений необходимо найти оптимум некоторого функционала в детерминированной или стохастической форме. Следует отметить две особенности. Во-первых, математические методы принятия решений для задач, связанных с различными направлениями деятельности человека, начинают взаимное проникновение друг в друга, например, оптимизационные задачи управления при переходе от непрерывных переменных к дискретным становятся задачами математического (линейного) программирования, оценка разделяющей функции

в статистических методах принятия решений может проводиться с помощью процедур линейного или квадратичного программирования и т.д. Во-вторых, исходные числовые данные как результат измерений или наблюдений

в задачах принятия решений для реальных ситуаций не являются детерминированными, а чаще являются случайными величинами

с известными или неизвестными законами распределения, поэтому последующая обработка данных требует применения методов математической статистики, теории нечетких множеств или теории возможностей.

Математические методы в экономике и принятии решений можно разделить на несколько групп:

Методы оптимизации.

Методы, учитывающие неопределенность, прежде всего, вероятностно-статистические.

Методы построения и анализа имитационных моделей,

Методы анализа конфликтных ситуаций (теория игр).

Методы оптимизации

Оптимизация в математике - операция нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области векторного пространства, ограниченного набором линейных или нелинейных равенств (неравенств).

Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.

Математическое программирование - это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач с ограничениями. В отличие от классической математики, математическое программирование занимается математическими методами решения задач нахождения наилучших вариантов из всех возможных.

Постановка задачи оптимизации

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчётом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом. Среди элементов χ, образующих множества Χ, найти такой элемент χ*, который обеспечивает минимальное значение f (χ*) заданной функции f(χ). Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации, необходимо задать:

Допустимое множество - множество

решение математика игра

2. Целевую функцию - отображение ;

Критерий поиска (max или min).

Тогда решить задачу означает одно из:

Показать, что .

Показать, что целевая функция не ограничена снизу.

Если , то найти:

Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются поиском локальных минимумов и максимумов: точек таких, что всюду в некоторой их окрестности для минимума и для максимума.

Если допустимое множество , то такая задача называется задачей безусловной оптимизации, в противном случае - задачей условной оптимизации.

Классификация методов оптимизации

Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом).

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

1. Локальные методы:

сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом / минимумом.

Глобальные методы:

имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.

Существующие в настоящее время методы поиска можно разбить на три большие группы:

1. детерминированные;

Случайные (стохастические);

Комбинированные.

По критерию размерности допустимого множества, методы оптимизации делят на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации.

По виду целевой функции и допустимого множества, задачи оптимизации и методы их решения можно разделить на следующие классы:

Задачи оптимизации, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями , разрешаются так называемыми методами линейного программирования.

В противном случае имеют дело с задачей нелинейного программирования и применяют соответствующие методы. В свою очередь из них выделяют две частные задачи:

если и - выпуклые функции, то такую задачу называют задачей выпуклого программирования;

если , то имеют дело с задачей целочисленного (дискретного) программирования.

· прямые методы, требующие только вычислений целевой функции в точках приближений;

· методы первого порядка: требуют вычисления первых частных производных функции;

· методы второго порядка: требуют вычисления вторых частных производных, то есть гессиана целевой функции.

Помимо того, оптимизационные методы делятся на следующие группы:

Аналитические методы (например, метод множителей Лагранжа и условия Каруша-Куна-Таккера);

Численные методы;

Графические методы.

В зависимости от природы множества X задачи математического программирования классифицируются как:

· задачи дискретного программирования (или комбинаторной оптимизации) - если X конечно или счётно;

· задачи целочисленного программирования - если X является подмножеством множества целых чисел;

· задачи нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция содержат нелинейные функции и X является подмножеством конечномерного векторного пространства.

Если же все ограничения и целевая функция содержат лишь линейные функции, то это - задача линейного программирования.

Кроме того, разделами математического программирования являются параметрическое программирование, динамическое программирование и стохастическое программирование.

Математическое программирование используется при решении оптимизационных задач исследования операций.

Способ нахождения экстремума полностью определяется классом задачи. Но перед тем, как получить математическую модель, нужно выполнить 4 этапа моделирования:

Определение границ системы оптимизации

Отбрасываем те связи объекта оптимизации с внешним миром, которые не могут сильно повлиять на результат оптимизации, а, точнее, те, без которых решение упрощается

Выбор управляемых переменных

«Замораживаем» значения некоторых переменных (неуправляемые переменные). Другие оставляем принимать любые значения из области допустимых решений (управляемые переменные)

Определение ограничений на управляемые переменные (равенства и / или неравенства).

Выбор числового критерия оптимизации (например, показателя эффективности)

Создаём целевую функцию.

Вероятностно-статистические методы

Суть вероятностно-статистических методов принятия решений

Как подходы, идеи и результаты теории вероятностей и математической статистики используются при принятии решений?

Базой является вероятностная модель реального явления или процесса, т.е. математическая модель, в которой объективные соотношения выражены в терминах теории вероятностей. Вероятности используются прежде всего для описания неопределенностей, которые необходимо учитывать при принятии решений. Имеются в виду как нежелательные возможности (риски), так и привлекательные («счастливый случай»). Иногда случайность вносится в ситуацию сознательно, например, при жеребьевке, случайном отборе единиц для контроля, проведении лотерей или опросов потребителей.

Теория вероятностей позволяет по одним вероятностям рассчитать другие, интересующие исследователя. Например, по вероятности выпадения герба можно рассчитать вероятность того, что при 10 бросаниях монет выпадет не менее 3 гербов. Подобный расчет опирается на вероятностную модель, согласно которой бросания монет описываются схемой независимых испытаний, кроме того, выпадения герба и решетки равновозможны, а потому вероятность каждого из этих событий равна Ѕ. Более сложной является модель, в которой вместо бросания монеты рассматривается проверка качества единицы продукции. Соответствующая вероятностная модель опирается на предположение о том, что контроль качества различных единиц продукции описывается схемой независимых испытаний. В отличие от модели с бросанием монет необходимо ввести новый параметр - вероятность Р того, что единица продукции является дефектной. Модель будет полностью описана, если принять, что все единицы продукции имеют одинаковую вероятность оказаться дефектными. Если последнее предположение неверно, то число параметров модели возрастает. Например, можно принять, что каждая единица продукции имеет свою вероятность оказаться дефектной.

Обсудим модель контроля качества с общей для всех единиц продукции вероятностью дефектности Р. Чтобы при анализе модели «дойти до числа», необходимо заменить Р на некоторое конкретное значение. Для этого необходимо выйти из рамок вероятностной модели и обратиться к данным, полученным при контроле качества. Математическая статистика решает обратную задачу по отношению к теории вероятностей. Ее цель - на основе результатов наблюдений (измерений, анализов, испытаний, опытов) получить выводы о вероятностях, лежащих в основе вероятностной модели. Например, на основе частоты появления дефектных изделий при контроле можно сделать выводы о вероятности дефектности (см. теорему Бернулли выше). На основе неравенства Чебышева делались выводы о соответствии частоты появления дефектных изделий гипотезе о том, что вероятность дефектности принимает определенное значение.

Таким образом, применение математической статистики опирается на вероятностную модель явления или процесса. Используются два параллельных ряда понятий - относящиеся к теории (вероятностной модели) и относящиеся к практике (выборке результатов наблюдений). Например, теоретической вероятности соответствует частота, найденная по выборке. Математическому ожиданию (теоретический ряд) соответствует выборочное среднее арифметическое (практический ряд). Как правило, выборочные характеристики являются оценками теоретических. При этом величины, относящиеся к теоретическому ряду, «находятся в головах исследователей», относятся к миру идей (по древнегреческому философу Платону), недоступны для непосредственного измерения. Исследователи располагают лишь выборочными данными, с помощью которых они стараются установить интересующие их свойства теоретической вероятностной модели.

Зачем же нужна вероятностная модель? Дело в том, что только с ее помощью можно перенести свойства, установленные по результатам анализа конкретной выборки, на другие выборки, а также на всю так называемую генеральную совокупность. Термин «генеральная совокупность» используется, когда речь идет о большой, но конечной совокупности изучаемых единиц. Например, о совокупности всех жителей России или совокупности всех потребителей растворимого кофе в Москве. Цель маркетинговых или социологических опросов состоит в том, чтобы утверждения, полученные по выборке из сотен или тысяч человек, перенести на генеральные совокупности в несколько миллионов человек. При контроле качества в роли генеральной совокупности выступает партия продукции.

Чтобы перенести выводы с выборки на более обширную совокупность, необходимы те или иные предположения о связи выборочных характеристик с характеристиками этой более обширной совокупности. Эти предположения основаны на соответствующей вероятностной модели.

Конечно, можно обрабатывать выборочные данные, не используя ту или иную вероятностную модель. Например, можно рассчитывать выборочное среднее арифметическое, подсчитывать частоту выполнения тех или иных условий и т.п. Однако результаты расчетов будут относиться только к конкретной выборке, перенос полученных с их помощью выводов на какую-либо иную совокупность некорректен. Иногда подобную деятельность называют «анализ данных». По сравнению с вероятностно-статистическими методами анализ данных имеет ограниченную познавательную ценность.

Итак, использование вероятностных моделей на основе оценивания и проверки гипотез с помощью выборочных характеристик - вот суть вероятностно-статистических методов принятия решений.

Подчеркнем, что логика использования выборочных характеристик для принятия решений на основе теоретических моделей предполагает одновременное использование двух параллельных рядов понятий, один из которых соответствует вероятностным моделям, а второй - выборочным данным. К сожалению, в ряде литературных источников, обычно устаревших либо написанных в рецептурном духе, не делается различия между выборочными и теоретическими характеристиками, что приводит читателей к недоумениям и ошибкам при практическом использовании статистических методов.

Применение конкретного вероятностно-статистического метода состоит из трёх этапов:

Переход от экономической, управленческой, технологической реальности к абстрактной математико-статистической схеме, то есть построение вероятностной модели системы управления, технологического процесса, процедуры принятия решений, в частности по результатам статистического контроля, и тому подобного.

Проведение расчётов и получение выводов чисто математическими средствами в рамках вероятностной модели.

Толкование математико-статистических выводов применительно к реальной ситуации и принятие соответствующего решения (например, о соответствии или несоответствии качества продукции установленным требованиям, необходимости наладки технологического процесса), в частности, заключения (о доле дефектных единиц продукции в партии, о конкретном виде законов распределения контролируемых параметров технологического процесса и подобном).

Математическая статистика применяет понятия, методы и результаты теории вероятностей. Далее рассматриваем основные вопросы построения вероятностных моделей в разнообразных случаях. Подчеркнём, что для активного и правильного использования нормативно-технических и инструктивно-методических документов по вероятностно-статистическим методам нужны предварительные знания. Так, необходимо знать, при каких условиях следует применять тот или иной документ, какие исходные данные нужны для его выбора и применения, какие решения должны быть приняты по результатам обработки данных, и так далее.

Рассмотрим несколько примеров, когда вероятностно-статистические модели являются хорошим средством решения задач.

В романе Алексея Николаевича Толстого «Хождение по мукам» (том 1) говорится: «мастерская даёт двадцать три процента брака, этой цифры вы и держи́тесь, - сказал Струков Ивану Ильичу». Как понимать эти слова в разговоре руководителей завода? Eдиница продукции не может быть дефектна на 23%. Она может быть либо годной, либо дефектной. Наверноe, Струков мыслил, что в партии большого объёма содержится примерно 23% дефектных единиц продукции. Тогда возникает вопрос: а что значит «примерно»? Пусть из 100 проверенных единиц продукции 30 окажутся дефектными, или из 1000 - 300, или из 100 000 - 30 000… Надо ли обвинять Струкова во лжи?

Монетка, используемая как жребий, должна быть «симметричной»: в среднем в половине случаев подбрасывания должен выпадать орёл, а в половине случаев - решка. Но что означает «в среднем»? Если провести много серий по 10 бросаний в каждой серии, то часто будут встречаться серии, в которых монетка 4 раза выпадает орлом. Для симметричной монеты это будет происходить в 20,5% серий. А если на 100 000 бросаний окажется 40 000 орлов, то можно ли считать монету симметричной? Процедура принятия решений строится на основе теории вероятностей и математической статистики.

Пример может показаться несерьёзным. Это не так. Жеребьёвка широко используется при организации промышленных технико-экономических экспериментов. Например, при обработке результатов измерения показателя качества (момента трения) подшипников в зависимости от различных технологических факторов (влияния консервационной среды, методов подготовки подшипников перед измерением, влияния нагрузки подшипников в процессе измерения и тому подобных). Допустим, нужно сравнить качество подшипников в зависимости от результатов хранения их в разных консервационных маслах. При планировании такого эксперимента возникает вопрос, какие подшипники следует поместить в масло одного состава, а какие - в другое, но так, чтобы избежать субъективизма и обеспечить объективность принимаемого решения. Ответ может быть получен с помощью жребия.

Аналогичный пример можно привести и с контролем качества любой продукции. Чтобы решить, соответствует или не соответствует контролируемая партия продукции установленным требованиям, из неё выбирается представительная часть: по этой выборке судят о всей партии. Поэтому желательно, чтобы каждая единица в контролируемой партии имела одинаковую вероятность быть выбранной. В производственных условиях выбор единиц продукции обычно делают не жребием, а по специальным таблицам случайных чисел или с помощью компьютерных датчиков случайных чисел.

Похожие проблемы обеспечения объективности сравнения возникают при сопоставлении различных схем организации производства, оплаты труда, при проведении тендеров и конкурсов, подбора кандидатов на вакантные должности. Всюду нужна жеребьёвка или подобные ей меры.

Пусть надо выявить наиболее сильную и вторую по силе команду при организации турнира по олимпийской системе (проигравший выбывает). Допустим, что более сильная команда всегда побеждает более слабую. Ясно, что самая сильная команда однозначно станет чемпионом. Вторая по силе команда выйдет в финал только когда до финала у неё не будет игр с будущим чемпионом. Если такая игра запланирована, то вторая по силе команда в финал не попадёт. Тот, кто планирует турнир, может либо досрочно «выбить» вторую по силе команду из турнира, сведя её в первой же встрече с лидером, либо обеспечить ей второе место, обеспечив встречи с более слабыми командами вплоть до финала. Чтобы избежать субъективизма, проводят жеребьёвку. Для турнира из 8 команд вероятность того, что в финале встретятся две самые сильные команды, равна 4 из 7. Соответственно с вероятностью 3 из 7 вторая по силе команда покинет турнир досрочно.

При любом измерении единиц продукции (с помощью штангенциркуля, микрометра, амперметра…) имеются погрешности. Чтобы выяснить, есть ли систематические погрешности, необходимо многократно измерить единицы продукции, характеристики которой известны (например, стандартного образца). При этом следует помнить, что кроме систематической погрешности присутствует и случайная погрешность.

Встаёт вопрос, как по измерениям выявить систематическую погрешность. Если отмечать только, является ли полученная при очередном измерении погрешность положительной или отрицательной, то эту задачу можно свести к уже́ рассмотренной. Действительно, сопоставим измерение с бросанием монеты: положительную погрешность - с выпадением орла, отрицательную - решки (нулевая погрешность при достаточном числе делений шкалы практически никогда не встречается). Тогда проверка отсутствия систематической погрешности эквивалентна проверке симметричности монеты.

Итак, задача проверки на систематическую погрешность сведена к задаче проверки симметричности монеты. Проведённые рассуждения приводят к так называемому «критерию знаков» в математической статистике.

При статистическом регулировании технологических процессов на основе методов математической статистики разрабатываются правила и планы статистического контроля процессов, направленные на своевременное обнаружение разладки технологических процессов и принятия мер к их наладке и предотвращению выпуска продукции, не соответствующей установленным требованиям. Эти меры нацелены на сокращение издержек производства и потерь от поставки некачественных единиц продукции. При статистическом приёмочном контроле на основе методов математической статистики разрабатываются планы контроля качества путем анализа выборок из партий продукции. Сложность заключается в том, чтобы уметь правильно строить вероятностно-статистические модели принятия решений. В математической статистике для этого разработаны вероятностные модели и методы проверки гипотез, в частности, гипотез о том, что доля дефектных единиц продукции равна определённому числу , например, .

Теория игр

Теория игр - математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Под игрой понимается процесс, в котором каждая из сторон-участников (две или более) ведут борьбу за свои интересы. Каждая сторона преследует свои цели и пользуется некоторой стратегией, которая может в свою очередь привести к выигрышу или проигрышу (результат зависит от других игроков. Теория игр предоставляет возможность выбора наилучшей стратегии с учетом представлений о других игроках, их возможностях и возможных поступках.

Теория игр - это раздел прикладной математики, точнее - исследования операций. Чаще всего методы теории игр находят применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике, юриспруденции и других. Начиная с 1970-х годов её взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции. Очень важное значение она имеет для искусственного интеллекта и кибернетики, особенно с проявлением интереса к интеллектуальным агентам.

Оптимальные решения или стратегии в математическом моделировании предлагались ещё в XVIII в. Задачи производства и ценообразования в условиях олигополии, которые стали позже хрестоматийными примерами теории игр, рассматривались в XIX в. А. Курно и Ж. Бертраном. В начале XX в. Э. Ласкер, Э. Цермело, Э. Борель выдвигают идею математической теории конфликта интересов.

Математическая теория игр берёт своё начало из неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге 1944 года Джона фон Неймана и Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (англ. Theory of Games and Economic Behavior).

Эта область математики нашла некоторое отражение в общественной культуре. В 1998 году американская писательница и журналистка Сильвия Назар издала книгу о судьбе Джона Нэша, нобелевского лауреата по экономике и учёного в области теории игр; а в 2001 по мотивам книги был снят фильм «Игры разума». Некоторые американские телевизионные шоу, например, «Friend or Foe», «Alias» или «NUMBЕRS», периодически ссылаются на теорию в своих эпизодах.

Дж. Нэш в 1949 году пишет диссертацию по теории игр, через 45 лет он получает Нобелевскую премию по экономике. Дж. Нэш после окончания Политехнического института Карнеги с двумя дипломами - бакалавра и магистра - поступил в Принстонский университет, где посещал лекции Джона фон Неймана. В своих трудах Дж. Нэш разработал принципы «управленческой динамики». Первые концепции теории игр анализировали антагонистические игры, когда есть проигравшие и выигравшие за их счет игроки. Нэш разрабатывает методы анализа, в которых все участники или выигрывают, или терпят поражение. Эти ситуации получили названия «равновесие по Нэшу», или «некооперативное равновесие», в ситуации стороны используют оптимальную стратегию, что и приводит к созданию устойчивого равновесия. Игрокам выгодно сохранять это равновесие, так как любое изменение ухудшит их положение. Эти работы Дж. Нэша сделали серьёзный вклад в развитие теории игр, были пересмотрены математические инструменты экономического моделирования. Дж. Нэш показывает, что классический подход к конкуренции А. Смита, когда каждый сам за себя, неоптимален. Более оптимальны стратегии, когда каждый старается сделать лучше для себя, делая лучше для других.

Хотя теория игр первоначально и рассматривала экономические модели, вплоть до 1950-х она оставалась формальной теорией в рамках математики. Но уже с 1950-х гг. начинаются попытки применить методы теории игр не только в экономике, но в биологии, кибернетике, технике, антропологии. Во время Второй мировой войны и сразу после неё теорией игр серьёзно заинтересовались военные, которые увидели в ней мощный аппарат для исследования стратегических решений.

В 1960-1970 гг. интерес к теории игр угасает, несмотря на значительные математические результаты, полученные к тому времени. С середины 1980-х гг. начинается активное практическое использование теории игр, особенно в экономике и менеджменте. За последние 20 - 30 лет значение теории игр и интерес значительно растет, некоторые направления современной экономической теории невозможно изложить без применения теории игр.

Большим вкладом в применение теории игр стала работа Томаса Шеллинга, нобелевского лауреата по экономике 2005 г. «Стратегия конфликта». Т. Шеллинг рассматривает различные «стратегии» поведения участников конфликта. Эти стратегии совпадают с тактиками управления конфликтами и принципами анализа конфликтов в конфликтологии (это психологическая дисциплина) и в управлении конфликтами в организации (теория менеджмента). В психологии и других науках используют слово «игра» в других смыслах, нежели чем в математике. Некоторые психологи и математики скептически относятся к использованию этого термина в других смыслах, сложившихся ранее. Культурологическое понятие игры было дано в работе Йохана Хёйзинга «Homo Ludens» (статьи по истории культуры), автор говорит об использовании игр в правосудии, культуре, этике, о том, что игра старше самого человека, так как животные тоже играют. Понятие игры встречается в концепции Эрика Бёрна «Игры, в которые играют люди, люди, которые играют в игры». Это сугубо психологические игры, основанные на трансакционном анализе. Понятие игры у Й. Хёзинга отличается от интерпретации игры в теории конфликтов и математической теории игр. Игры также используются для обучения в бизнес-кейсах, семинарах Г.П. Щедровицкого, основоположника организационно-деятельностного подхода. Во время Перестройки в СССР Г.П. Щедровицкий провел множество игр с советскими управленцами. По психологическому накалу ОДИ (организационно-деятельностные игры) были так сильны, что служили мощным катализатором изменений в СССР. Сейчас в России сложилось целое движение ОДИ. Критики отмечают искусственную уникальность ОДИ. Основой ОДИ стал Московский методологический кружок (ММК).

Математическая теория игр сейчас бурно развивается, рассматриваются динамические игры. Однако математический аппарат теории игр затратен. Его применяют для оправданных задач: политика, экономика монополий и распределения рыночной власти и т.п. Ряд известных ученых стали Нобелевскими лауреатами по экономике за вклад в развитие теории игр, которая описывает социально-экономические процессы. Дж. Нэш, благодаря своим исследованиям в теории игр, стал одним из ведущих специалистов в области ведения «холодной войны», что подтверждает масштабность задач, которыми занимается теория игр.

Нобелевскими лауреатами по экономике за достижения в области теории игр и экономической теории стали: Роберт Ауман, Райнхард Зелтен, Джон Нэш, Джон Харсаньи, Уильям Викри, Джеймс Миррлис, Томас Шеллинг, Джордж Акерлоф, Майкл Спенс, Джозеф Стиглиц, Леонид Гурвиц, Эрик Мэскин, Роджер Майерсон, Ллойд Шепли, Элвин Рот, Жан Тироль.

Представление игр

Игры представляют собой строго определённые математические объекты. Игра образуется игроками, набором стратегий для каждого игрока и указания выигрышей, или платежей, игроков для каждой комбинации стратегий. Большинство кооперативных игр описываются характеристической функцией, в то время как для остальных видов чаще используют нормальную или экстенсивную форму. Характеризующие признаки игры как математической модели ситуации:

1. Наличие нескольких участников;

2. Неопределенность поведения участников, связанная с наличием у каждого из них нескольких вариантов действий;

Различие (несовпадение) интересов участников;

Взаимосвязанность поведения участников, поскольку результат, получаемый каждым из них, зависит от поведения всех участников;

Наличие правил поведения, известных всем участникам.

Экстенсивная форма

Игра «Ультиматум » в экстенсивной форме

Игры в экстенсивной, или расширенной, форме представляются в виде ориентированного дерева, где каждая вершина соответствует ситуации выбора игроком своей стратегии. Каждому игроку сопоставлен целый уровень вершин. Платежи записываются внизу дерева, под каждой листовой вершиной.

На рисунке слева - игра для двух игроков. Игрок 1 ходит первым и выбирает стратегию F или U. Игрок 2 анализирует свою позицию и решает - выбрать стратегию A или R. Скорее всего первый игрок выберет U, а второй - A (для каждого из них это оптимальные стратегии); тогда они получат соответственно 8 и 2 очка.

Экстенсивная форма очень наглядна, с её помощью особенно удобно представлять игры с более чем двумя игроками и игры с последовательными ходами. Если же участники делают одновременные ходы, то соответствующие вершины либо соединяются пунктиром, либо обводятся сплошной линией.

Нормальная форма игры

В нормальной, или стратегической, форме игра описывается платёжной матрицей. Каждая сторона (точнее, измерение) матрицы - это игрок, строки определяют стратегии первого игрока, а столбцы - второго. На пересечении двух стратегий можно увидеть выигрыши, которые получат игроки. В примере справа, если игрок 1 выбирает первую стратегию, а второй игрок - вторую стратегию, то на пересечении мы видим (−1, −1), это значит, что в результате хода оба игрока потеряли по одному очку.

Игроки выбирали стратегии с максимальным для себя результатом, но проиграли, из-за незнания хода другого игрока. Обычно в нормальной форме представляются игры, в которых ходы делаются одновременно, или хотя бы полагается, что все игроки не знают о том, что делают другие участники. Такие игры с неполной информацией будут рассмотрены ниже.

Характеристическая функция

В кооперативных играх с трансферабельной полезностью, то есть возможностью передачи средств от одного игрока к другому, невозможно применять понятие индивидуальных платежей. Вместо этого используют так называемую характеристическую функцию, определяющую выигрыш каждой коалиции игроков. При этом предполагается, что выигрыш пустой коалиции равен нулю.

Основания такого подхода можно найти ещё в книге фон Неймана и Моргенштерна. Изучая нормальную форму для коалиционных игр, они рассудили, что если в игре с двумя сторонами образуется коалиция C, то против неё выступает коалиция N\C. Образуется как бы игра для двух игроков. Но так как вариантов возможных коалиций много (а именно 2N, где N - количество игроков), то выигрыш для C будет некоторой характеристической величиной, зависящей от состава коалиции. Формально игра в такой форме (также называемая TU-игрой) представляется парой (N, v), где N - множество всех игроков, а v: 2N → R - это характеристическая функция.

Подобная форма представления может быть применена для всех игр, в том числе без трансферабельной полезности. В настоящее время существуют способы перевести любую игру из нормальной формы в характеристическую, но преобразование в обратную сторону возможно не во всех случаях.

Применение теории игр

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теоретико-игровой анализ был впервые использован для описания поведения животных Рональдом Фишером в 30-х годах XX века (хотя даже Чарльз Дарвин использовал идеи теории игр без формального обоснования). В работе Рональда Фишера не появляется термин «теория игр». Тем не менее, работа по существу выполнена в русле теоретико-игрового анализа. Разработки, сделанные в экономике, были применены Джоном Майнардом Смитом в книге «Эволюция и теория игр». Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведения, высказывались ещё Платоном.

Описание и моделирование

Первоначально теория игр использовалась для описания и моделирования поведения человеческих популяций. Некоторые исследователи считают, что с помощью определения равновесия в соответствующих играх они могут предсказать поведение человеческих популяций в ситуации реальной конфронтации. Такой подход к теории игр в последнее время подвергается критике по нескольким причинам. Во-первых, предположения, используемые при моделировании, зачастую нарушаются в реальной жизни. Исследователи могут предполагать, что игроки выбирают поведения, максимизирующее их суммарную выгоду (модель экономического человека), однако на практике человеческое поведение часто не соответствует этой предпосылке. Существует множество объяснений этого феномена - нерациональность, моделирование обсуждения, и даже различные мотивы игроков (включая альтруизм). Авторы теоретико-игровых моделей возражают на это, говоря, что их предположения аналогичны подобным предположениям в физике. Поэтому даже если их предположения не всегда выполняются, теория игр может использовать как разумная идеальная модель, по аналогии с такими же моделями в физике. Однако, на теорию игр обрушился новый вал критики, когда в результате экспериментов было выявлено, что люди не следуют равновесным стратегиям на практике. Например, в играх «Сороконожка», «Диктатор» участники часто не используют профиль стратегий, составляющий равновесие по Нэшу. Продолжаются споры о значении подобных экспериментов. Согласно другой точке зрения, равновесие по Нэшу не является предсказанием ожидаемого поведения, оно лишь объясняет, почему популяции, уже находящиеся в равновесии по Нэшу, остаются в этом состоянии. Однако вопрос о том, как эти популяции приходят к равновесию Нэша, остается открытым. Некоторые исследователи в поисках ответа на этот вопрос переключились на изучение эволюционной теории игр. Модели эволюционной теории игр предполагают ограниченную рациональность или нерациональность игроков. Несмотря на название, эволюционная теория игр занимается не только и не столько вопросами естественного отбора биологических видов. Этот раздел теории игр изучает модели биологической и культурной эволюции, а также модели процесса обучения.

Нормативный анализ (выявление наилучшего поведения)

С другой стороны, многие исследователи рассматривают теорию игр не как инструмент предсказания поведения, но как инструмент анализа ситуаций с целью выявления наилучшего поведения для рационального игрока. Поскольку равновесие Нэша включает стратегии, являющиеся наилучшим откликом на поведение другого игрока, использование концепции равновесия Нэша для выбора поведения выглядит вполне обоснованным. Однако, и такое использование теоретико-игровых моделей подверглось критике. Во-первых, в некоторых случаях игроку выгодно выбрать стратегию, не входящую в равновесие, если он ожидает, что другие игроки также не будут следовать равновесным стратегиям. Во-вторых, знаменитая игра «Дилемма заключенного» позволяет привести ещё один контрпример. В «Дилемме заключенного» следование личным интересам приводит к тому, что оба игрока оказываются в худшей ситуации в сравнении с той, в которой они пожертвовали бы личными интересами.

Кооперативные и некооперативные

Игра называется кооперативной, или коалиционной, если игроки могут объединяться в группы, взяв на себя некоторые обязательства перед другими игроками и координируя свои действия. Этим она отличается от некооперативных игр, в которых каждый обязан играть за себя. Развлекательные игры редко являются кооперативными, однако такие механизмы нередки в повседневной жизни.

Часто предполагают, что кооперативные игры отличаются именно возможностью общения игроков друг с другом. В общем случае это неверно. Существуют игры, где коммуникация разрешена, но игроки преследуют личные цели, и наоборот.

Из двух типов игр, некооперативные описывают ситуации в мельчайших деталях и выдают более точные результаты. Кооперативные рассматривают процесс игры в целом. Попытки объединить два подхода дали немалые результаты. Так называемая программа Нэша уже нашла решения некоторых кооперативных игр как ситуации равновесия некооперативных игр.

Гибридные игры включают в себя элементы кооперативных и некооперативных игр. Например, игроки могут образовывать группы, но игра будет вестись в некооперативном стиле. Это значит, что каждый игрок будет преследовать интересы своей группы, вместе с тем стараясь достичь личной выгоды.

Симметричные и несимметричные

Игра будет симметричной тогда, когда соответствующие стратегии у игроков будут равны, то есть иметь одинаковые платежи. Иначе говоря, если игроки могут поменяться местами и при этом их выигрыши за одни и те же ходы не изменятся. Многие изучаемые игры для двух игроков - симметричные. В частности, таковыми являются: «Дилемма заключённого», «Охота на оленя», «Ястребы и голуби». В качестве несимметричных игр можно привести «Ультиматум» или «Диктатор».

В примере справа игра на первый взгляд может показаться симметричной из-за похожих стратегий, но это не так - ведь выигрыш второго игрока при профилях стратегий (А, А) и (Б, Б) будет больше, чем у первого.

С нулевой суммой и с ненулевой суммой

Игры с нулевой суммой - особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Посмотрите направо - числа означают платежи игрокам - и их сумма в каждой клетке равна нулю. Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.

Многие изучаемые математиками игры, в том числе уже упоминавшаяся «Дилемма заключённого», иного рода: в играх с ненулевой суммой выигрыш какого-то игрока не обязательно означает проигрыш другого, и наоборот. Исход такой игры может быть меньше или больше нуля. Такие игры могут быть преобразованы к нулевой сумме - это делается введением фиктивного игрока, который «присваивает себе» излишек или восполняет недостаток средств.

Ещё игрой с отличной от нуля суммой является торговля, где каждый участник извлекает выгоду. Широко известным примером, где она уменьшается, является война.

Параллельные и последовательные

В параллельных играх игроки ходят одновременно, или, по крайней мере, они не осведомлены о выборе других до тех пор, пока все не сделают свой ход. В последовательных, или динамических, играх участники могут делать ходы в заранее установленном либо случайном порядке, но при этом они получают некоторую информацию о предшествующих действиях других. Эта информация может быть даже не совсем полной, например, игрок может узнать, что его противник из десяти своих стратегий точно не выбрал пятую, ничего не узнав о других.

Различия в представлении параллельных и последовательных игр рассматривались выше. Первые обычно представляют в нормальной форме, а вторые - в экстенсивной.

С полной или неполной информацией

Важное подмножество последовательных игр составляют игры с полной информацией. В такой игре участники знают все ходы, сделанные до текущего момента, равно как и возможные стратегии противников, что позволяет им в некоторой степени предсказать последующее развитие игры. Полная информация не доступна в параллельных играх, так как в них неизвестны текущие ходы противников. Большинство изучаемых в математике игр - с неполной информацией. Например, вся «соль» «Дилеммы заключённого» или «Сравнения монеток» заключается в их неполноте.

В то же время есть интересные примеры игр с полной информацией: «Ультиматум», «Многоножка». Сюда же относятся шахматы, шашки, го, манкала и другие.

Часто понятие полной информации путают с похожим - совершенной информации. Для последнего достаточно лишь знание всех доступных противникам стратегий, знание всех их ходов необязательно.

Игры с бесконечным числом шагов

Игры в реальном мире или изучаемые в экономике игры, как правило, длятся конечное число ходов. Математика не так ограничена, и в частности, в теории множеств рассматриваются игры, способные продолжаться бесконечно долго. Причём победитель и его выигрыш не определены до окончания всех ходов.

Задача, которая обычно ставится в этом случае, состоит не в поиске оптимального решения, а в поиске хотя бы выигрышной стратегии. Используя аксиому выбора, можно доказать, что иногда даже для игр с полной информацией и двумя исходами - «выиграл» или «проиграл» - ни один из игроков не имеет такой стратегии. Существование выигрышных стратегий для некоторых особенным образом сконструированных игр имеет важную роль в дескриптивной теории множеств.

Дискретные и непрерывные игры

Большинство изучаемых игр дискретны: в них конечное число игроков, ходов, событий, исходов и т.п. Однако эти составляющие могут быть расширены на множество вещественных чисел. Игры, включающие такие элементы, часто называются дифференциальными. Они связаны с какой-то вещественной шкалой (обычно - шкалой времени), хотя происходящие в них события могут быть дискретными по природе. Дифференциальные игры также рассматриваются в теории оптимизации, находят своё применение в технике и технологиях, физике.

Метаигры

Методы построения и анализа имитационных моделей (имитационное моделирование).

Имитационное моделирование (ситуационное моделирование) - метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания, так и заданного их множества. При этом результаты будут определяться случайным характером процессов. По этим данным можно получить достаточно устойчивую статистику.

Имитационное моделирование - это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация - это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

Имитационное моделирование - это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.

Имитационным моделированием иногда называют получение частных численных решений сформулированной задачи на основе аналитических решений или с помощью численных методов.

Имитационная модель - логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

Применение имитационного моделирования.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

· дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

· невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

· необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами - разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

Виды имитационного моделирования

Три подхода имитационного моделирования

Подходы имитационного моделирования на шкале абстракции

· Агентное моделирование - относительно новое (1990-2000 гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей - получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении её отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент - некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.

· Дискретно-событийное моделирование - подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие, как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений - от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Основан Джеффри Гордоном в 1960-х годах.

· Системная динамика - парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. По сути, такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод основан Джеем Форрестером в 1950 годах.

Области применения

· Бизнес-процессы

· Бизнес-симуляция

· Боевые действия

· Динамика населения

· Дорожное движение

· ИТ-инфраструктура

· Математическое моделирование исторических процессов

· Логистика

· Пешеходная динамика

· Производство

· Рынок и конкуренция

· Сервисные центры

· Цепочки поставок

· Уличное движение

· Управление проектами

· Экономика здравоохранения

· Экосистема

· Информационная безопасность

· Релейная защита

Заключение

Из вышеперечисленных методов наибольшее применение получили вероятностно-статистические и теория игр. Вероятностно-статистические методы по сравнению с другими наиболее доступен и дешев для использования и установки базы программного обеспечения. Так, применительно для прогнозов (например, регрессионного анализа) и оптимизации возможно использовать стандартный пакет программы Microsoft Office Excel.

Теория игр значительно более дорогой метод, меньше изучен с точки зрения научной основы и требует высококвалифицированных кадров. Однако, в областях особой значимости (политика, мировые финансовые компании, ТНК) оправдан и необходим.

Использованная литература

1. А.А. Грешилов, Математические методы принятия решений, 2-е издание, исправленное и дополненное, Москва, 2014

2. Мазалов В.В. Математическая теория игр и приложения. - Санкт-Петербург - Москва - Краснодар: Лань, 2010.

Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979.

4. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник, 2009

5. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник для вузов. Изд. 3-е, исправленное и дополненное. - М.: Изд-во «Экзамен», 2004.

6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985.

Жиглявский А.А., Жилинкас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. - М.: Наука, Физматлит, 1991.

Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. - М.: Радио и связь, 1981

Бодров В.И., Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Математические методы принятия решений. Учебное пособие. - Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2004

Петросян Л.А. Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Книжный дом «Университет», 1998.

Современная теория измерений и экспертные оценки. Какпроводить анализ собранных рабочей группой ответов экспертов? Для более углубленного рассмотрения проблем экспертных оценок понадобятся некоторые понятия так называемой репрезентативной теории измерений (глава 2.1), служащей основой теории экспертных оценок, прежде всего той ее части, которая связана с анализом заключений экспертов, выраженных в качественном (а не в количественном) виде.

Репрезентативная (т.е. связанная с представлением отношений между реальными объектами в виде отношений между числами) теория измерений (в дальнейшем сокращенно РТИ) является одной из составных частей эконометрики . А именно, она входит в состав статистики объектов нечисловой природы . Нас РТИ интересует прежде всего в связи с развитием теории и практики экспертного оценивания, в частности, в связи с агрегированием мнений экспертов, построением обобщенных показателей (их называют также рейтингами).

Получаемые от экспертов мнения часто выражены в порядковой шкале , т.е. эксперт может сказать (и обосновать), что один тип продукции будет более привлекателен для потребителей. Чем другой, одинпоказатель качества продукции более важен, чем другой, первый технологический объект более опасен, чем второй, и т.д. Но он не в состоянии сказать, во сколько раз или на сколько более важен, соответственно, более опасен. Поэтому экспертов часто просят дать ранжировку (упорядочение) объектов экспертизы, т.е. расположить их в порядке возрастания (или, точнее, неубывания) интенсивности интересующей организаторов экспертизы характеристики.

Ранг - это номер (объекта экспертизы) в упорядоченном ряду. Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3, ..., но весьма важно то, что с этими числами нельзя делать привычные арифметические операции. Например, хотя 2 + 3 = 5, но нельзя утверждать, что для объекта, стоящем на третьем месте в упорядочении (в другой терминологии - ранжировке), интенсивность изучаемой характеристики равна сумме интенсивностей объектов с рангами 1 и 2. Так, один из видов экспертного оценивания - оценки учащихся. Вряд ли кто-либо будет всерьез утверждать, что знания отличника равны сумме знаний двоечника и троечника (хотя 5 = 2 + 3), хорошист соответствует двум двоечникам (2 + 2 = 4), а между отличником и троечником такая же разница, как между хорошистом и двоечником (5 - 3 = 4 - 2). Поэтому очевидно, что для анализа подобного рода качественных данных необходима не обычная арифметика, а другая теория, дающая базу для разработки, изучения и применения конкретных методов расчета. Эта другая теория и есть РТИ. Основы РТИ рассмотрены в главе 2.1.

Рассмотрим в качестве примера применения результатов теории измерений, связанных со средними величинами в порядковой шкале, один сюжет, связанный с ранжировками и рейтингами.

Методы средних баллов. В настоящее время распространены экспертные, маркетинговые, квалиметрические, социологические и иные опросы, в которых опрашиваемых просят выставить баллы объектам, изделиям, технологическим процессам, предприятиям, проектам, заявкам на выполнение научно-исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т.п. Затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные (т.е. обобщенные, итоговые) оценки, выставленные коллективом опрошенных экспертов. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин? Ведь средних величин существует, как мы знаем, очень много разных видов.

Обычно применяют среднее арифметическое . Специалисты по теории измерений уже около 30 лет знают, что такой способ некорректен , поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см. выше). Обоснованным является использование медиан в качестве средних баллов. Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из-за их привычности и распространенности . Поэтому представляется рациональным использовать одновременно оба метода - и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов. Такая рекомендация находится в согласии с общенаучной концепцией устойчивости , рекомендующей применять различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах. Такие выводы, видимо, соответствуют реальной действительности, в то время как заключения, меняющиеся от метода к методу, зависят от субъективизма исследователя, выбирающего метод обработки исходных экспертных оценок.

Пример сравнения восьми проектов. Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода.

По заданию руководства фирмы анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы. Они обозначены следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, включенным в экспертную комиссию, организованную по решению Правления фирмы. В приведенной ниже табл.1 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с представлением экспертов о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы. При этом эксперт присваивает ранг 1 самому лучшему проекту, который обязательно надо реализовать. Ранг 2 получает от эксперта второй по привлекательности проект, ... , наконец, ранг 8 - наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь.

Таблица 1.

Ранги 8 проектов по степени привлекательности

для включения в план стратегического развития фирмы

Примечание. Эксперт № 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту - проекту Сол. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.

Анализируя результаты работы экспертов (т.е. упомянутую таблицу), члены аналитической подразделения Рабочей группы, анализировавшие ответы экспертов по заданию Правления фирмы, были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в таблице, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.

Метод средних арифметических рангов. Сначала для получения группового мнения экспертов был применен метод средних арифметических рангов. Для этого прежде всего была подсчитана сумма рангов, присвоенных проектам (см. табл. 1). Затем эта сумма была разделена на число экспертов, в результате рассчитан средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка (в другой терминологии - упорядочение), исходя из принципа - чем меньше средний ранг, чем лучше проект. Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл. 2 ниже.

Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же самое, по средним арифметическим рангам) имеет вид:

Б < М-К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г-Б < К. (1)

Здесь запись типа "А<Б" означает, что проект А предшествует проекту Б (т.е. проект А лучше проекта Б). Поскольку проекты Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу они эквивалентны, а потому объединены в группу (в фигурных скобках). В терминологии математической статистики ранжировка (1) имеет одну связь.

Метод медиан рангов. Значит, наука сказала свое слово, итог расчетов - ранжировка (1), и на ее основе предстоит принимать решение? Так был поставлен вопрос при обсуждении полученных результатов на заседании Правления фирмы. Но тут наиболее знакомый с современной эконометрикой член Правления вспомнил то, о чем шла речь выше. Он вспомнил, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале, а потому для них неправомерно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо использовать метод медиан.

Что это значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из проектов, например, проекту Д. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания (проще было бы сказать – «в порядке возрастания», но поскольку некоторые ответы совпадают, то приходится использовать непривычный термин «неубывание»). Получим последовательность: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах - шестом и седьмом - стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.

Таблица 2.

Результаты расчетов по методу средних арифметических

и методу медиан для данных, приведенных в таблице 1.

Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл.2. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение комиссии экспертов по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка (т.е. упорядочение - итоговое мнение комиссии экспертов) по медианам имеет вид:

Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б. (2)

Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. с точки зрения математической статистики ранжировка (4) имеет одну связь.

Сравнение ранжировок по методу средних арифметических и методу медиан. Сравнение ранжировок (1) и (2) показывает их близость (похожесть). Можно принять, что проекты М-К, Л, Сол упорядочены как М-К < Л < Сол, но из-за погрешностей экспертных оценок в одном методе признаны равноценными проекты Л и Сол (ранжировка (1)), а в другом - проекты М-К и Л (ранжировка (2)). Существенным является только расхождение, касающееся упорядочения проектов К и Г-Б: в ранжировке (3) Г-Б < К, а в ранжировке (4), наоборот, К < Г-Б. Однако эти проекты - наименее привлекательные из восьми рассматриваемых, и при выборе наиболее привлекательных проектов для дальнейшего обсуждения и использования на указанное расхождение можно не обращать внимания.

Рассмотренный пример демонстрирует сходство и различие ранжировок, полученных по методу средних арифметических рангов и по методу медиан, а также пользу от их совместного применения.

Метод согласования кластеризованных ранжировок. Проблема состоит в выделении общего нестрогого порядка из набора кластеризованных ранжировок (на статистическом языке - ранжировок со связями). Этот набор может отражать мнения нескольких экспертов или быть получен при обработке мнений экспертов различными методами. Предлагается метод согласования кластеризованных ранжировок, позволяющий «загнать» противоречия внутрь специальным образом построенных кластеров (групп), в то время как упорядочение кластеров соответствует одновременно всем исходным упорядочениям.

В различных прикладных областях возникает необходимость анализа нескольких кластеризованных ранжировок объектов. К таким областям относятся прежде всего экология, инженерный бизнес, менеджмент, экономика, социология, прогнозирование, научные и технические исследования и т.д., особенно те их разделы, что связаны с экспертными оценками (см., например, ). В качестве объектов могут выступать образцы продукции, технологии, математические модели, проекты, кандидаты на должность и др. Кластеризованные ранжировки могут быть получены как с помощью экспертов, так и объективным путем, например, при сопоставлении математических моделей с экспериментальными данными с помощью того или иного критерия качества. Описанный ниже метод был разработан в связи с проблемами химической безопасности биосферы и экологического страхования .

В настоящем пункте рассматривается метод построения кластеризованной ранжировки, согласованной (в раскрытом ниже смысле) со всеми рассматриваемыми кластеризованными ранжировками. При этом противоречия между отдельными исходными ранжировками оказываются заключенными внутри кластеров согласованной ранжировки. В результате упорядоченность кластеров отражает общее мнение экспертов, точнее, то общее, что содержится в исходных ранжировках.

В кластеры заключены объекты, по поводу которых некоторые из исходных ранжировок противоречат друг другу. Для их упорядочения необходимо провести новые исследования. Эти исследования могут быть как формально-математическими (например, вычисление медианы Кемени (о ней – ниже), упорядочения по средним рангам или по медианам и т.п.), так и требовать привлечения новой информации из соответствующей прикладной области, возможно, проведения дополнительных научных или прикладных работ.

Введем необходимые понятия, затем сформулируем алгоритм согласования кластеризованных ранжировок в общем виде и рассмотрим его свойства.

Пусть имеется конечное число объектов, которые мы для простоты изложения будем изображать натуральными числами 1,2,3,...,k и называть их совокупность «носителем». Под кластеризованной ранжировкой, определенной на заданном носителе, понимаем следующую математическую конструкцию . Пусть объекты разбиты на группы, которые будем называть кластерами. В кластере может быть и один элемент. Входящие в один кластер объекты будем заключать в фигурные скобки. Например, объекты 1,2,3,...,10 могут быть разбиты на 7 кластеров: {1}, {2,3}, {4}, {5,6,7}, {8}, {9}, {10}. В этом разбиении один кластер {5,6,7} содержит три элемента, другой - {2,3} - два, остальные пять - по одному элементу. Кластеры не имеют общих элементов, а объединение их (как множеств) есть все рассматриваемое множество объектов (весь носитель).

Вторая составляющая кластеризованной ранжировки - это строгий линейный порядок между кластерами . Задано, какой из них первый, какой второй, и т.д. Будем изображать упорядоченность с помощью знака < . При этом кластеры, состоящие из одного элемента, будем для простоты изображать без фигурных скобок. Тогда кластеризованную ранжировку на основе введенных выше кластеров можно изобразить так:

А = [ 1 < {2,3} < 4 < {5,6,7} < 8 < 9 < 10 ] .

Конкретные кластеризованные ранжировки будем заключать в квадратные скобки. Если для простоты речи термин "кластер" применять только к кластеру не менее чем из 2-х элементов, то можно сказать, что в кластеризованную ранжировку А входят два кластера {2,3} и {5,6,7} и 5 отдельных элементов.

Введенная описанным образом кластеризованная ранжировка является бинарным отношением на носителе - множестве {1,2,3,...,10}. Его структура такова. Задано отношение эквивалентности с 7-ю классами эквивалентности, а именно, {2,3}, {5,6,7}, а 5 классов остальные состоят из оставшихся 5 отдельных элементов. Затем введен строгий линейный порядок между классами эквивалентности.

Введенный математический объект известен в литературе как "ранжировка со связями" (М. Холлендер, Д.Вулф), "упорядочение" (Дж. Кемени, Дж. Снелл), "квазисерия" (Б.Г.Миркин), "совершенный квазипорядок" (Ю.А.Шрейдер ). Учитывая разнобой в терминологии, было признано полезным ввести собственный термин "кластеризованная ранжировка", поскольку в нем явным образом названы основные элементы изучаемого математического объекта - кластеры, рассматриваемые на этапе согласования ранжировок как классы эквивалентности, и ранжировка - строгий совершенный порядок между ними (в терминологии Ю.А.Шрейдера ).

Следующее важное понятие - противоречивость . Оно определяется для четверки - две кластеризованные ранжировки на одном и том же носителе и два различных объекта - элементы того же носителя. При этом два элемента из одного кластера будем связывать символом равенства = , как эквивалентные.

Пусть А и В - две кластеризованные ранжировки. Пару объектов (a,b) назовем «противоречивой»относительно кластеризованных ранжировок А и В, если эти два элемента по-разному упорядочены в А и В, т.е. a < b в А и a > b в В (первый вариант противоречивости) либо a >b в А и a < b в В (второй вариант противоречивости). Отметим, что в соответствии с этим определением пара объектов (a,b ), эквивалентная хотя бы в одной кластеризованной ранжировке, не может быть противоречивой: эквивалентность a = b не образует "противоречия" ни с a < b , ни с a > b . Это свойство оказывается полезным при выделении противоречивых пар.

В качестве примера рассмотрим, кроме А , еще две кластеризованные ранжировки

В = [{1,2} < { 3,4, 5} < 6 < 7 < 9 < {8, 10}],

C = .

Совокупность противоречивых пар объектов для двух кластеризованных ранжировок А и В назовем «ядром противоречий»и обозначим S(A,B). Для рассмотренных выше в качестве примеров трех кластеризованных ранжировок А , В и С , определенных на одном и том же носителе {1, 2, 3,..., 10}, имеем

S (A ,B ) = [(8, 9)], S (A ,C) = [(1, 3), (2,4)],

S (B ,C ) = [(1, 3), (2, 3), (2, 4), (5, 6), (8,9)].

Как при ручном, так и при программном нахождении ядра можно в поисках противоречивых пар просматривать пары (1,2), (1,3), (1,4), .... , (1,k ), затем (2,3), (2,4), ..., (2,k ), потом (3,4), ..., (3, k ), и т.д., вплоть до последней пары (k -1, k ).

Пользуясь понятиями дискретной математики, «ядро противоречий» можно изобразить графом с вершинами в точках носителя. При этом противоречивые пары задают ребра этого графа. Граф для S (A ,B ) имеет только одно ребро (одна связная компонента более чем из одной точки), для S (A ,C ) - 2 ребра (две связные компоненты более чем из одной точки), для S (B ,C ) - 5 ребер (три связные компоненты более чем из одной точки, а именно, {1, 2 , 3, 4}, {5, 6} и {8, 9}).

Каждую кластеризованную ранжировку, как и любое бинарное отношение, можно задать матрицей ||x (a ,b )|| из 0 и 1 порядка k x k . При этом x (a ,b ) = 1 тогда и только тогда, когда a < b либо a = b . В первом случае x (b,a ) = 0, а во втором x (b,a ) = 1. При этом хотя бы одно из чисел x (a,b ) и x (b,a ) равно 1. Из определения противоречивости пары (a, b ) вытекает, что для нахождения всех таких пар достаточно поэлементно перемножить две матрицы ||x (a,b )|| и ||y (a,b )||, соответствующие двум кластеризованным ранжировкам, и отобрать те и только те пары, для которых x(a,b )y (a,b ) = x (b,a )y (b,a )=0.

Предлагаемый алгоритм согласования некоторого числа (двух или более) кластеризованных ранжировок состоят из трех этапов. На первом выделяются противоречивые пары объектов во всех парах кластеризованных ранжировок. На втором формируются кластеры итоговой кластеризованной ранжировки (т.е. классы эквивалентности - связные компоненты графов , соответствующих объединению попарных ядер противоречий). На третьем этапе эти кластеры (классы эквивалентности) упорядочиваются . Для установления порядка между кластерами произвольно выбирается один объект из первого кластера и второй - из второго, порядок между кластерами устанавливается такой же, какой имеет быть между выбранными объектами в любой из рассматриваемых кластеризованных ранжировок. (Если в одной из исходных кластеризованных ранжировок имеет быть равенство, а в другой – неравенство, то при построении итоговой кластеризованной ранжировки используется неравенство.)

Корректность подобного упорядочивания, т.е. его независимость от выбора той или иной пары объектов, вытекает из соответствующих теорем, доказанных в статье .

Два объекта из разных кластеров согласующей кластеризованной ранжировки могут оказаться эквивалентными в одной из исходных кластеризованных ранжировок (т.е. находиться в одном кластере). В таком случае надо рассмотреть упорядоченность этих объектов в какой-либо другой из исходных кластеризованных ранжировок. Если же во всех исходных кластеризованных ранжировках два рассматриваемых объекта находились в одном кластере, то естественно считать (и это является уточнением к этапу 3 алгоритма), что они находятся в одном кластере и в согласующей кластеризованной ранжировке.

Результат согласования кластеризованных ранжировок А , В , С ,... обозначим f(А, В, С ,...). Тогда

f (А, В ) = ,

f (А, С ) = [{1,3}<{2, 4}<6<{5,7}<8<9<10],

f(В, С ) = [{1,2,3,4}<{5,6}<7<{8,9}<10],

f (А, В, С ) = f (В, С ) = [{1,2,3,4} <{5,6}<7<{8, 9}<10].

Итак, в случае f (А, В ) дополнительного изучения с целью упорядочения требуют только объекты 8 и 9. В случае f (А, С ) кластер {5,7} появился не потому, что относительно объектов 5 и 7 имеется противоречие, а потому, что в обеих исходных ранжировках эти объекты не различаются. В случае f(В , С ) четыре объекта 1,2,3,4 объединились в один кластер, т.е. кластеризованные ранжировки оказались настолько противоречивыми, что процедура согласования не позволила провести достаточно полную декомпозицию задачи нахождения итогового мнения экспертов.

Рассмотрим некоторые свойства алгоритмов согласования.

1. Пусть D = f (А , В , C ,...). Если a в согласующей кластеризованной ранжировке D , то a или a=b в каждой из исходных ранжировок А , В , C , ..., причем хотя бы в одной из них справедливо строгое неравенство.